学習 算数

等積変形で難しい面積問題をサクッと解決! 平行線と三角形の関係がおもしろい

2018年12月10日 みみずく

中学受験算数の平面図形分野では、面積を求める問題が頻出です。複雑な形の図形の面積を求める場合、図形をいくつかに分ける、全体から不要な部分を引くなど、さまざまな工夫があります。そのなかから、今回は「等積変形」を紹介します。

等積変形というと難しいイメージがあるかもしれませんが、使いこなせるようになると便利です。しっかり理解して、図形問題攻略の武器にしましょう。

等積変形を理解しよう

等積変形とは、図形の面積を変えずに形を変えることです。等積変形の方法にはいくつかの種類があります。しかし、中学受験算数で等積変形という場合、平行線と三角形の性質を利用した変形がほとんどです。

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」で求められます。したがって、底辺と高さがそれぞれ等しければ、面積は等しくなります。

たとえば、上の図で直線mと直線mが平行ならば、底辺が共通の三角形ABCと三角形ABDは面積が等しいです。平行な2直線はその間の距離がどこでも同じなので、CからABに下した垂線とDからABに下した垂線の長さが等しくなり、三角形ABCと三角形ABDの高さも等しいからです。

また、三角形EFGについても、EFの長さとABの長さが等しければ、三角形EFGは三角形ABCや三角形ABDと面積が等しいといえます。

このように、平行線と三角形が与えられた求積問題では、多くの場合、等積変形を利用して面積を求めます。

等積変形の基本に慣れよう

実際に、等積変形を利用する求積問題を考えてみましょう。

【問題1】

下の図で、四角形ABCDは長方形で面積が60cm2、直線mが対角線ACと平行です。このとき、三角形ACEの面積は何cm2ですか。

下の図より、三角形ACEと三角形ACD(長方形ABCDを二等分した三角形)は底辺ACが共通で、高さも等しいとわかります。

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この記事の著者

家庭教師/ライター。墨田区・台東区を拠点に活動している個人家庭教師。家庭教師を本業としつつ、ライターとしても活動しています。モットーは「好きな人を応援する」。小学生の指導科目は国語・算数(数学)・英語・理科・社会・作文など。「楽しく学びながら、中学の準備をする」ことを目標に指導をおこなっています。

Webサイト:みみずく戦略室 墨田区・台東区のプロ家庭教師&ライター
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