学習 算数

循環小数と分数の関係を考えよう! 規則性に注目すると小学生でも理解できる

2021年5月18日 みみずく

0.3333…や1.57878…のように、同じ数字が無限にくり返される小数を「循環小数」といいます。循環小数は高校数学で本格的に学びますが、中学受験算数でも出題されることがあります。

循環小数と分数の関係を理解したうえで、中学受験でよく出る問題にチャレンジしてみましょう。

循環小数を分数で表してみよう

小数点以下に数字が無限に並ぶ小数を「無限小数」といいます。無限小数のうち、0.3333…は3が無限にくり返されるので循環小数です。一方、円周率の3.14159…は同じ数字の繰り返しがないので循環しない無限小数です。循環小数と循環しない無限小数には、分数で表せるかどうかの違いもあります。

0.3333…を分数で表してみよう

たとえば、0.3=\(\frac{3}{10}\)、0.33=\(\frac{33}{100}\)のように、無限小数ではない小数(有限小数)は分数で表せます。実は、0.3333…などの循環小数も分数で表すことができます。実際に分数で表してみましょう。

□=0.3333…とします。これを10倍すると、□×10=3.3333…となります。□×10=3.3333…から□=0.3333…を引くと、□×10-□=3.3333…-0.3333…です。=の左側は□10個から□1個を引くので□×9となり、=の右側は小数点以下が0.3333…で同じ形なので3だけが残ります。□×9=3なので、□=3÷9=\(\frac{3}{9}\)=\(\frac{1}{3}\)になりました。

循環小数を分数で表すコツは、小数点以下を同じ形にすることです。

1.57878…を分数で表してみよう

今度は1.57878…を分数で表してみましょう。□=1.57878…とするところまでは0.3333…と同じです。しかし、単純に10倍するだけだと、□×10=15.78787…となって、□=1.57878…と小数点以下が同じ形になりません。そこで一工夫します。

1.57878…は78がくり返されます。そこで小数点以下が0.7878…でそろうように、□=1.57878…を10倍して□×10=15.7878…、1000倍して□×1000=1578.7878…を作ります。□×1000=1578.7878…から□×10=15.7878…を引いて、□×1000-□×10=1578.7878…-15.7878…なので□×990=1563となり、□=1563÷990=\(\frac{1563}{990}\)=\(\frac{521}{330}\)です。

循環小数は、10倍、100倍、1000倍、…して小数点以下を同じ形にすれば、必ず分数で表すことができます。くり返し部分に注目して、規則性を考えることが大切です。

循環小数の規則性に注目しよう

中学受験算数でよく出る循環小数の問題は、次の【問】のようなタイプです。

【問】\(\frac{1}{7}\)を小数で表したとき、小数第100位の数字はいくつですか。

まずは、問題文の指示通り\(\frac{1}{7}\)を小数で表してみます。1÷7を計算していきますが、「分数で表される小数なので、無限小数になるはず」と意識しましょう。どこかで必ずくり返しが出てきます。

1÷7=0.142…ではくり返しが出てきませんが、そこはグッと我慢して、もう少し計算してください。1÷7=0.1428571…で小数第一位と同じ数の1が出てきました。念のためもう少し計算すると、1÷7=0.142857142…となり、142857がくり返されることがわかりました。

142857は6ケタなので、小数第100位までの100ケタを6で割ります。100÷6=16あまり4となって、小数第100位までに142857が16回くり返され、小数第97位が1、小数第98位が4、小数第99位が2、小数第100位が8だとわかります。したがって、答は8です。

【問】でも、小数点以下のくり返し部分に注目して、規則性を考えるのがポイントです。「ある年の5月10日は水曜日でした。同じ年の12月10日は何曜日ですか。」というタイプの問題(日暦算)と似たような考え方で解けることがわかるでしょう。

循環小数の不思議を考えてみよう

循環小数は不思議な数です。たとえば、0.3333…=\(\frac{1}{3}\)について、=の両側を3倍してみましょう。そうすると、0.9999…=1になってしまいます。「1ではない小数が1と同じ?」と思いませんか? この疑問は、高校数学で「極限」という考え方を学ぶと解消されるはずです。

数学は、単に計算するだけの科目ではなく、「無限」のような不思議を探求する学問でもあります。中学受験生には、算数の勉強を通して、奥深い数学の世界に興味を持ってもらいたい、と思っています。

※記事の内容は執筆時点のものです

この記事の著者

家庭教師/ライター。墨田区・台東区を拠点に活動している個人家庭教師。家庭教師を本業としつつ、ライターとしても活動しています。モットーは「好きな人を応援する」。小学生の指導科目は国語・算数(数学)・英語・理科・社会・作文など。「楽しく学びながら、中学の準備をする」ことを目標に指導をおこなっています。

Webサイト:みみずく戦略室 墨田区・台東区のプロ家庭教師&ライター
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