学習 算数

つまずく子供が特に多い「場合の数」 親がわかりやすく教える方法は?

専門家・プロ
2018年4月23日 鈴木恵美子

算数のなかでも「場合の数」を理解するのは、中学受験を控えた小学生にとってなかなかの難題です。多くの子供がつまずいてしまう理由はどこにあるのでしょうか。また、子供の理解を助けるために、親が上手に導くコツは何でしょうか。1人ひとりの生徒に最適な「勉強のやり方」を教える塾・プラスティー教育研究所に聞きました。

最初から公式に頼らず、公式が導き出される過程を理解させよう

ある事柄の起きる場合が、全部で何通りあるのかを求める「場合の数」。この先、確率の勉強に取り組む時にも重要になる単元です。ところが中高生になっても場合の数を苦手にしている子は多く、小学生のときの取り組み方が原因のひとつであるようです。

場合の数を「実感して理解」する3ステップ

場合の数はかけ算の公式を使えば簡単に求めることができます。つまりAの起こり方がm通りあり、その各々に対してBの起こり方がn通りある時は、AとBが共に起きる場合の数は「m×n」となります。しかし、最初からその公式にあてはめる学び方をしてしまうと、思考力を育てることができず、あとあと苦戦することになります。

場合の数の入り口では、まずふたつの方法で場合を数え上げる作業をしてみましょう。ひとつは「辞書式配列」、二つ目は「樹形図」です。

1)全部を辞書のように並べて数え上げる

「辞書式配列」とは文字通り、辞書のように整然と並べること。たとえば「ABCDという4つの文字の並べ方は何通りですか?」という問いには、「4×3×2×1」という公式に当てはめるとすぐに答えが導き出せます。でもここでは、数えもれや重複がないように、順番を守って書き出していきます。

まずAが先頭にしてABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB次にBを先頭にしてBACD,BADC,BCAD,BCDA…………

根気がいりますが、この「もれなく数える」という感覚を、最初に子供に身につけさせることは大切です。これは「一生懸命考えれば分かる」というレベルでは不十分です。

ほぼ無意識に、流れるように書き出せるようになって初めて応用問題に対応することができます。

おすすめしたいのはタイムトライアル。たとえば「ABCDEから3文字を選ぶ組み合わせを書き出そう」といった問題で、最初は1分30秒ぐらいの制限時間を設けて、正解できたら1分、45秒とどんどん時間を短くして挑戦します。ゲーム感覚で遊びながら、辞書式配列の感覚を体に染み付くまで覚えさせましょう。

2)樹形図を描いて「かけ算」の意味を知る

次に取り組みたいのが「樹形図」を描くことです。「全部の文字列を正確に書き出すのは面倒だ」と感じた時に、同じ内容を樹形図で表してみると、よりパターン化しやすいことがわかります。

ここで樹形図を描くことにより、はじめて公式の「かけ算」の意味が見え始めます。先頭がA、B、C、Dのときにそれぞれ6通りの並べ方があるので、4×6=24通りとなります。子供がそのことに気付いたら、しめたものです。

3)樹形図と公式との共通点を見つける

樹形図の形をよく見ると最初に4つの頭があり、それぞれ3つに枝分かれし、さらに2つに枝分かれし、最後は1本の枝が出ています。「それは、公式の4×3×2×1に当てはまるよね」という話を子供にしてあげてください。公式が魔法の道具だから使うのではなく、すべての場合を書き出すのが大変だから、パターン化した公式を利用する。この感覚は、場合の数を学ぶうえでとても重要です。

公式だけでは解けない出題が多い。仕組みを理解して総合的な思考力を伸ばそう

「場合の数」の理解には、辞書式配列、樹形図、公式の3ステップを踏んで、総合的な思考力を磨くことが大事。なぜかというと中学入試では、公式だけで答えを導き出すことができず、地道にスキルも要求される出題が多いからです。

さまざまな問題を混ぜて解いていくと効果的

場合の数の基本的な仕組みを理解したら、ぜひいろいろな問題にあたってみましょう。中学入試では、公式の意味を理解しているかどうか試す問題が必ず出されます。また考えるプロセスが全然違うのに、問題文がとても似ていることが多々あるため、読解力を鍛えることも大切です。

たとえば「ABCDEから3つ取り出す」という問題でも、3つ全部を違うものにする時と、「AAA」のように重複を許す時では、思考回路や解法が全く違います。

一般的な問題集は、似た問題が順に並んでいることが多いので、子供は「だいたいこの流れならこうすれば解ける」と予測できてしまいます。それぞれの問題文自体は短いので、単語カードのようにバラバラにするのもひとつのアイデア。シャッフルしながら解いていくことで、いい実戦練習になります。

手を動かすことで理解が深まる

場合の数における公式はとても便利なものですが、最初は根気よく書き出していくことが、子供の数学的な思考力を鍛えてくれます。目の前にある課題をこなすことだけではなく、中学生以降の理解のためと考えて取り組んでみてください。

当研究所では役立つ本もつくっていますので、ぜひ参考にしてください。

■「小学校の算数」が1冊でちゃんとわかる本

清水章弘著(株式会社プラスティー教育研究所代表取締役) 1,296円(本体価格1,200円)

「算数が苦手」を克服する考え方のヒントや、ラクに解くためのコツを分かりやすく解説。日常生活にも応用できて、大人も楽しめます。

※記事の内容は執筆時点のものです

代表の清水章弘が設立。「勉強のやり方を教える塾 プラスティー」を東京・飯田橋と京都・烏丸御池で運営している。勉強内容だけではなく、勉強のやり方を体系的にまとめた「学習コーチ指導」を展開。小学生から高校生・浪人生まで、学校についていけない生徒から最難関校を受験する生徒まで、生徒1人ひとりの力を伸ばす指導は父兄からも大きな信頼を集めている。

代表は青森県三戸町教育委員会学習アドバイザーを務める。代表著書に『中学生からの勉強のやり方』(ディスカバー・トゥエンティワン)、『東大生が知っている!努力を結果に結びつける17のルール』(幻冬舎)、『現役東大生がこっそりやっている、頭がよくなる勉強法』(PHP研究所)など多数。著書は海外でも翻訳されている。

プラスティー教育研究所:http://plus-t.jp/