学習 算数

数列の公式はどうして成り立つの? n番目の数や和の求め方を本質から理解しよう

2019年5月13日 みみずく

3、5、7、9、11、…という数列の5番目の数11は、3+2×(5-1)の式で求められます。また、3~11までの和は、(3+11)×5÷2=35と計算できます。これらの計算は、有名な数列の公式を利用したものです。

では、そもそもどうして公式が成り立つのでしょうか? 今回はさまざまな数列の公式について考えてみます。

等差数列のn番目の数とn番目までの和の公式

冒頭で紹介した3、5、7、9、11、…という数列は、3から始まって2ずつ大きくなっていきます。このように一定の数を次々に加えていく数列が等差数列です。

等差数列のn番目の数を求めよう

等差数列のn番目の数は「最初の数+加える数×(n-1)」で表されます。この公式が成り立つ理由を、3、5、7、9、11、…の数列で具体的に考えてみましょう。

・1番目の数 … 3=3+2×0
・2番目の数 … 5=3+2×1
・3番目の数 … 7=3+2×2
・4番目の数 … 9=3+2×3
・5番目の数 … 11=3+2×4

ここまで書き出してみると、3に2を(n-1)個足して求められるのがn番目の数だとわかります。したがって、3、5、7、9、11、…のn番目の数は3+2×(n-1)です。

等差数列のn番目までの和を求めよう

等差数列のn番目までの和は「(最初の数+最後の数)×n÷2」です。3+5+7+9+11=35は、確かに(3+11)×5÷2=35でも求められます。この公式が成り立つ理由は、3+5+7+9+11と、順番を入れかえた11+9+7+5+3の和を考えれば理解できます。

(3+5+7+9+11)×2=14×5なので、=の両側を2で割ります。これが公式の「÷2」の意味です。

等比数列のn番目の数とn番目までの和の公式

2、6、18、54、162、…という数列は、2から始まって3をかけています。このように一定の数を次々にかけていく数列が等比数列です。中学受験ではあまりお目にかからない数列ですが、等差数列と同じように公式を紹介します。

等比数列のn番目の数を求めよう

等比数列のn番目の数は「最初の数×かける数の(n-1)乗」で表されます。□の△乗は、□を△回かけるという意味です。たとえば、3の2乗は32=3×3になります。

続きは有料会員の方のみご覧いただけます

中学受験ナビについて

中学受験ナビは
保護者のための中学受験情報サイトです

会員登録すると・・・

  • 中学受験のノウハウ
  • お子さまに合った学校選び
  • 保護者の関わり方・考え方
  • 教科ごとの学習ポイント

などすべての会員コンテンツが

毎月情報
掲載!!

登録初月無料

通常

880円/月(税込)

会員登録

サービス内容はこちら

この記事の著者

家庭教師/ライター。墨田区・台東区を拠点に活動している個人家庭教師。家庭教師を本業としつつ、ライターとしても活動しています。モットーは「好きな人を応援する」。小学生の指導科目は国語・算数(数学)・英語・理科・社会・作文など。「楽しく学びながら、中学の準備をする」ことを目標に指導をおこなっています。

Webサイト:みみずく戦略室 墨田区・台東区のプロ家庭教師&ライター
https://mimizuku-edu.com/