学習 算数

消去算の解き方は2つ! 加減法と代入法を理解できれば難しくない

2020年3月10日 みみずく

2つ以上のわからない数がある問題で役立つのが「消去算」です。消去算では、式をいくつか作って操作することで、わからない数を求めていきます。今回は、消去算の基本的な解き方を解説します。

足したり引いたりする「加減法」

消去算には2つの解き方があります。1つめは、式を足したり引いたりする「加減法」です。

引き算をしてミカンを消去する

【問題1】リンゴ3個とミカン2個で420円、リンゴ2個とミカン2個で320円です。リンゴ1個、ミカン1個の値段はそれぞれ何円ですか。

【問題1】で難しいのは、リンゴとミカンの2つの果物について考えなければいけないところです。そのため、リンゴかミカンのどちらかを消してしまいます。「消去算」では、その名の通り、いくつかあるものを「消去」するのがポイントです。

まずはリンゴとミカンの絵を描いて考えます。

 (1)と(2)のどちらにもミカン2つがあるので、(1)から(2)を引けばミカン2つを消せます。次のように引き算をしてみましょう。

リンゴ1個が100円です。また、(2)から、ミカン2個の値段が320-100×2=120(円)となり、ミカン1個の値段を120÷2=60(円)と求められます。

消去算では一般的に、絵を描くのではなく、式を作って計算します。【問題1】では、リンゴを「リ」、ミカンを「ミ」として次の2つの式を作ります。

リ×3+ミ×2=420…(1)
リ×2+ミ×2=320…(2)

後は (1)-(2)を計算すれば、リンゴ1個が100円だとわかります。

ミカンの個数を最小公倍数にそろえる

【問題2】リンゴ3個とミカン2個で420円、リンゴ4個とミカン3個で580円です。リンゴ1個、ミカン1個の値段はそれぞれ何円ですか。

【問題1】と同じように、リンゴを「リ」、ミカンを「ミ」として2つの式を作ります。

リ×3+ミ×2=420…(1)
リ×4+ミ×3=580…(2)

【問題1】と違うのは、(1)と(2)でリンゴの個数もミカンの個数も異なっている点です。このような場合は、リンゴかミカンの個数を最小公倍数にそろえます。今回はミカンの個数を2と3の最小公倍数6にそろえるため、(1)の式全体を3倍、(2)の式全体を2倍します。

(1)×3 リ×9+ミ×6=1260…(3)
(2)×2 リ×8+ミ×6=1160…(4)

ミカンの個数がそろったので、(3)-(4)を計算すればリンゴ1個が100円です。【問題1】と同じように、(2)からミカン1個の値段も60円と求められます。

一方をもう一方に置きかえる「代入法」

消去算の解き方の2つめは、一方をもう一方に置きかえる「代入法」です。

リンゴに置きかえてミカンを消去する

【問題3】リンゴ5個とミカン3個で630円、リンゴ2個の値段とミカン3個の値段が同じです。リンゴ1個、ミカン1個の値段はそれぞれ何円ですか。

(2)は「リンゴ2個とミカン3個は置きかえられる」という意味です。これに従って(1)のミカン3個をリンゴ2個に置きかえると、ミカンが消去されてリンゴだけになります。

リンゴ7個で630円なので、リンゴ1個は630÷7=90(円)です。また、(2)からミカン3個の値段が90×2=180(円)となり、ミカン1個の値段を180÷3=60(円)と求められます。

リンゴを「リ」、ミカンを「ミ」として式を作り、リンゴ1個の値段を求める場合は次の通りです。

リ×5+ミ×3=630…(1)
リ×2=ミ×3…(2)

(2)を(1)に代入すると、

リ×5+リ×2=630
リ×7=630
リ×1=630÷7=90(円)

代入法でも個数を最小公倍数にそろえる

【問題4】リンゴ3個とミカン2個で390円、リンゴ2個の値段とミカン3個の値段が同じです。リンゴ1個、ミカン1個の値段はそれぞれ何円ですか。

【問題4】も【問題2】と同じように、まずはリンゴかミカンの個数を最小公倍数にそろえます。今回はリンゴの個数を2と3の最小公倍数6にそろえてみましょう。

リ×3+ミ×2=390…(1)
リ×2=ミ×3…(2)
(1)×2 リ×6+ミ×4=780…(3)
(2)×3 リ×6=ミ×9…(4)

(4)を(3)に代入して、

ミ×9+ミ×4=780
ミ×13=780
ミ×1=780÷13=60

ミカン1個が60円とわかったので、(2)からリンゴ2個の値段が60×3=180(円)となり、リンゴ1個の値段は180÷2=90(円)です。

消去算を使いこなせれば算数が得意になる

消去算は他の特殊算でも使える便利な考え方です。また、中学数学の連立方程式にもつながります。消去算を使いこなせれば、算数そして将来学ぶ数学がきっと得意になるでしょう。

※記事の内容は執筆時点のものです

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