逆比を使いこなして算数を得意にする！ 速さ・面積・濃度を簡単に解く方法を解説
逆比を苦手としている中学受験生は少なくありません。また、便利だからといって逆比を使っている受験生も、どうしてそうなるのかを理解していない場合があります。理屈がわからないまま逆比を使っていると、少しひねられただけで間違いを連発します。逆比について正しく理解し、どのような問題で使えるのかを把握することが大切です。
逆比とはどのような考え方か？
逆比を使いたい中学受験生は、逆比を正しく理解することから始めましょう。
逆比は「逆数の比」
2:3の逆比は3:2なので、「逆比は数字を逆にした比」という勘違いが生まれがちです。こういう勘違いをしていると、2:3:5の逆比を5:3:2と誤って考えてしてしまいます。
そもそも逆比は逆数の比です。数字を逆にした比ではありません。
逆数とは、その数に掛け合わせると１になる数のこと。2の逆数は\(\frac{1}{2}\)、3の逆数は\(\frac{1}{3}\)となります。
2:3を逆数の比にすると、\(\frac{1}{2}\):\(\frac{1}{3}\)で、両方の項に6をかけて3:2だから、結果的に数字が逆になっています。
2:3:5を逆数の比にすると、\(\frac{1}{2}\):\(\frac{1}{3}\):\(\frac{1}{5}\)なので、全ての項に30をかけて、15:10:6とするのが正しい逆比です。
逆比が使える場合とは？
逆比が使えるのは、A×B＝Cが成り立っていてCが一定のときです。A×B＝Cを変形すると、A＝\(\frac{C}{B}\)、B＝\(\frac{C}{A}\)なので、A:B＝\(\frac{C}{B}\):\(\frac{C}{A}\)です。Cが一定なので、A:B＝\(\frac{1}{B}\):\(\frac{1}{A}\)となり、確かに逆比だとわかります。
具体的には、「速さ×時間＝距離」が成り立つので、距離が一定のときは速さと時間は逆比の関係になります。また、「縦×横＝面積」「平均×個数＝合計」「食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ」などでも、＝の右側が一定ならば逆比を使えます。
三角形の面積は「底辺×高さ÷2＝面積」ですが、式を変形すれば「底辺×高さ＝面積×2」です。面積が一定ならば面積×2も一定なので、底辺と高さは逆比の関係が成り立ちます。
逆比を使って問題を解く
実際に逆比を使ってさまざまな問題を解いてみましょう。
逆比と速さ
【問題1】太郎君は毎日同じ時刻に家を出て学校へ行きます。分速70mで歩くと始業時刻の5分前に着きます。また、分速50mで歩くと始業時刻に3分遅れます。始業時刻が午前8時30分だとすると、太郎君が家を出る時刻は午前何時何分ですか。
【問題1】では、家から学校までの距離が一定なので、速さと時間が逆比の関係になることを使えます。以下のように線分図を描いてみましょう。
分速70mで歩いたときの時間と分速50mで歩いたときの時間は速さの逆比で5:7です。これを⑤と⑦で表すと、⑦－⑤＝5＋3となり、②＝8より⑤＝8×\(\frac{5}{2}\)＝20です。したがって、上の線分に注目して、太郎君が家を出る時刻は、午前8時30分－（5＋20）分＝午前8時5分です。
逆比と体積
【問題2】底面積200cm\(^2\)、高さ30cmの直方体の容器に、12cmの深さまで水が入っています。この容器に、底面積50cm\(^2\)、高さ40cmの直方体の棒を、底面が容器の底につくまで入れたとき、水の深さは何cmになりますか。
【問題2】のように物体を水に沈める問題では、図を描いてみましょう。このとき、容器を立体的に描くのではなく、底面を線で表して下のような図を描くのがコツです。
水の体積は「底面積×深さ（高さ）＝体積」で求められます。また、棒を入れる前と入れた後で水の体積は変わりません。したがって、水について、底面積と深さは逆比の関係です。
棒を入れる前と入れた後の底面積の比は200:150＝4:3なので、その逆比を使って深さの比は12:x＝3:4よりx＝12×4÷3＝16（cm）が答えです。
ちなみに、逆比を使わないで高さを求めるのも難しくありません。棒を入れる前の水の体積は200×12＝2400（cm\(^3\)）で、棒を入れた後の水の体積は150×x（cm\(^3\)）なので、150×x＝2400よりx＝2400÷150＝16（cm）が答えです。
逆比と食塩水の濃度
【問題3】16％の食塩水250gに150gの水を加えると、何％になりますか。
「食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ」です。そのため、【問題3】のように食塩の重さが変わらない濃度問題では、食塩水の重さと濃度が逆比の関係になります。
水を加える前と加えた後の食塩水の重さの比は250:（250＋150）＝5:8なので、その逆比を使って濃度の比は16:x＝8:5よりx＝16×5÷8＝10（％）が答えです。
ちなみに、逆比を使わずに濃度を求める場合、水を加える前の食塩水から食塩の重さを求めて250×0.16＝40（g）です。水を加えた後は食塩水の重さが400gになるので、「食塩の重さ÷食塩水の重さ×100＝濃度」より、40÷400×100＝10（％）が答えです。逆比を使うと、食塩の重さを求める計算を省略できるので、速く解けます。
逆比を使いこなして算数を得意にする
逆比を使うと簡単に解ける問題が少なくありません。また、ダイヤグラムのある旅人算を図形的に解いたり、食塩水の濃度問題を天秤図で解いたりするためにも、逆比を使いこなせる必要があります。算数を得意にしたければ、積極的に逆比を使うとよいでしょう。
※記事の内容は執筆時点のものです
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