学習 算数

方陣算がおもしろい! 正方形の形に並べた碁石の数を上手に数えてみよう

2018年8月22日 みみずく

「方陣」という言葉をご存知ですか? 算数に登場する方陣として有名なのは「魔方陣」でしょう。魔方陣とは、数字を縦と横に同じ数だけ並べて、横・縦・斜めの和がすべて等しくなるようにした問題をいいます。中学受験算数でも魔方陣を時々見かけます。

しかし、それよりも出題頻度が高いのは「方陣算」です。方陣算は、正方形の形に並べた碁石の数を数える問題です。今回は、この方陣算について解説します。

中実方陣と中空方陣の考え方を理解しよう

方陣算には、碁石が中までぎっしりつまった中実方陣と、中の碁石が取り除かれている中空方陣の2種類があります。

それぞれの方陣算について、どのように考えればいいのでしょうか?

中実方陣のすべての碁石の数は平方数になる

碁石が中までぎっしりつまった中実方陣では、(縦の碁石の数)×(横の碁石の数)=(すべての碁石の数)になります。ここで(縦の碁石の数)=(横の碁石の数)なので、(すべての碁石の数)は1、4、9、16、…という平方数になります。このことをふまえて、次の問題を解いてみましょう。

下の図は、あるきまりに従って碁石を並べたものです。10番目に並んでいる碁石の数は全部で何個ですか。

「あるきまり」がどのようなものかを考えます。1番目に並んでいる碁石は全部で4個です。同じように、2番目は9個、3番目は16個です。このことから、n番目に並んでいる碁石の数は全部で(n+1)×(n+1)で表されることがわかります。したがって、10番目に並んでいる碁石の数は全部で11×11=121(個)です。

すべての碁石の数を数えるだけなら簡単でした。一方、周りに並んでいる碁石の数を数える場合、中空方陣になるので、少しだけ難しくなります。中空方陣については、次で解説します。

中空方陣では4つの角に位置する碁石に注意する

中の碁石が取り除かれている中空方陣では、正方形の4つの角に位置する碁石をどうするかがポイントです。次の2つの考え方があります。

4つの角に位置する碁石の数も数える方法(上図:左)では、5×4=20(個)を求めた後、4つの角に位置する碁石4個を引きます。したがって、20-4=16(個)となります。

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この記事の著者

家庭教師/ライター。墨田区・台東区を拠点に活動している個人家庭教師。家庭教師を本業としつつ、ライターとしても活動しています。モットーは「好きな人を応援する」。小学生の指導科目は国語・算数(数学)・英語・理科・社会・作文など。「楽しく学びながら、中学の準備をする」ことを目標に指導をおこなっています。

Webサイト:みみずく戦略室 墨田区・台東区のプロ家庭教師&ライター
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