中学受験ノウハウ

3つのベン図でも慌てない! ダブルカウントの理解であっさり解ける

2019年2月08日 ゆずぱ

中学入試でもよく出題される集合の問題。ベン図を使って解くのが一般的ですが、私の息子がぶつかってしまった壁があります。ベン図が3つになるとわからなくなってしまうのです。2つまでのベン図は理解できたのに……。

以下のような症状の場合は私の息子と同じ壁にぶつかっているかも知れません。その場合は、ぜひ本記事を参考にしてみてください!

なぜ3つになるとわからなくなるのか

2つのベン図だと理解できるのに、3つになると途端にわからなくなってしまう。理由はどこにあるのでしょうか? 息子とベン図の問題に取り組む中でわかってきた理由はシンプルでした。

3つになると頭のなかで想像できなくなる

2つのベン図の表は2×2の簡単な形式で書くことができますよね。書けといわれれば多くの小学生が書くことができるのではないでしょうか。では3つのベン図はどうでしょう? 途端に書けなくなる小学生が多いのではないでしょうか? それもそのはずです。

3つのベン図の表をまともに書こうとすると、もはや2次元の表では表現できず、2×2×2の3次元の表 になります。当然、頭のなかで想像することも難しくなるでしょう。

3つのベン図になると途端にわからなくなるのは、頭のなかで想像できる範囲を超えていることに起因します。

結果としてテクニックが必要

頭のなかで想像できる範囲なら自力で何とか解法を見つけ出すこともあるでしょうし、なんとなく答えにたどり着けることもあるでしょう。ところが想像すらできない問題は、解き方を知らなければ解けません。つまりテクニックを知っているか知らないかで得点できるかが決まります。

3つのベン図になると途端に問題が解けなくなってしまう子供は、2つのベン図の問題をなんとか解けてしまったが故に、3つのベン図のテクニックを知らないまま先に進んでしまっている可能性があります。私の息子は、まさにこの状態でした。

ダブルカウントを理解すればあっさり解ける

実はベン図の問題はダブルカウントというテクニックを知ってしまえば意外とあっさり解くことができます。しかも2つのベン図でも3つのベン図でも使える共通したテクニックです。

ダブルカウントとは何か

ダブルカウントとは、2つのベン図が重なった部分のことです。問題を見ながら、ダブルカウントの概要をお伝えしたいと思います。

ベン図を書くと次のようになります。そして2つのベン図が重なった赤い部分がダブルカウントの部分です。

ダブルカウントした部分を後から引き算するという考え方が大切

クラス全体の人数はどのように求めればよいでしょうか? ベン図に出てくる領域を全て足してあげればクラス全体の人数が計算できます。さっそく全ての領域の人数を足してみましょう。

子供もすぐに気づくかと思いますが、この式は間違っていますね。

ダブルカウントの部分の人数を2回足してしまっています。電車を使う生徒として1回、バスを使う生徒として1回、合計2回です。

ですので、2回足してしまった部分は忘れずに引き算をしてあげましょう。これでクラス全体の人数がわかりますね

ポイントは、2回足してしまった部分、つまりダブルカウントの部分を引き算するという考え方です。実は2つのベン図の場合は、このような考え方をしなくてもベン図を眺めながら何となく解けてしまいます。それでも足してからダブルカウント分を引くという考え方を覚えましょう!

3つのベン図の場合はトリプルカウントを駆使

3つのベン図の場合は、2つのベン図が重なっているダブルカウントの領域に加え、3つのベン図が重なっているトリプルカウントの領域もあります。どのように扱えばよいでしょうか? とてもシンプルです。2回足してしまったら1回分を引き、3回足してしまったら2回分引けば良いのです。

3つのベン図の実践問題で試してみる

ベン図が3つともなると問題文にヒントとなる人数がワンサカ出てきます。2つのベン図は領域が全部で4つなのに対し、3つのベン図は領域が8つにもなるので当然ですね。落ち着いて問題文を読み解いていきましょう。

問題をよく読みそれぞれの領域に数を埋める

最初の作業は、慌てずに問題文をよく読み、ひとつずつヒントで与えられた数字をベン図に書き入れていく作業です。落ち着いて埋めましょう!

わからない領域は空欄の四角を置いておきましょう。またアンケートには最低1つを選ぶよう指示があるので、どれも選ばない生徒は0人ですね。

式を立てるときに、ダブルカウントとトリプルカウントの引き算を意識

それでは式を立ててみましょう。和食を選んだ人、洋食を選んだ人、中華を選んだ人を全て足してしまうと、ダブルカウントとトリプルカウントが発生しますね。ダブルカウントとトリプルカウントはベン図では以下の領域になります。

式を立てる時には、ダブルカウントした部分とトリプルカウントした部分を忘れずに引き算します。

あとは計算をすれば答えが見えてくる

和食と中華の2つを選んだ生徒が2人であることが分かりますね。そうすれば、ベン図の各領域が次々と埋まってきます。問題文で求められているのは、中華だけを選んだ生徒の人数ですから、答えは10人となります。

まとめ

3つのベン図になると途端にわからなく理由。それは2つのベン図が何となくできてしまうが故に、ベン図のダブルカウントやトリプルカウントのテクニックを知らない為である可能性があります。実際の問題を通してこのテクニックを知ればあっさり解けてしまいますので、落ち着いて練習することをおすすめします!

※記事の内容は執筆時点のものです

この記事の著者

小学生の息子と娘を持つ2児の父親。某電気メーカーでシステムエンジニアの仕事をしながら息子の中学受験を成功させ、今度は娘の受験生活に奮闘中。親としての受験活動の中での気づきや実践している工夫に加え、自らの失敗談からの役に立つ情報をブログで発信しています。

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