学習 算数

階差数列をわかりやすく解説! 規則性に着目すれば三角数も簡単に解ける

2022年11月08日 みみずく

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中学受験算数の数列で、多くの受験生が階差数列を苦手とします。

階差数列とは、ある数列の隣り合う数同士の差からできる別の数列のこと。今回は、この階差数列について基本から解説し、実際に問題を解いていきます。

階差数列の基本

階差数列は基本を理解していれば決して難しくありません。

階差数列とはどのような数列か?

2、3、6、11、18、…

この数列で、隣り合う数同士の差を取ってみましょう。そうすると、3-2=1、6-3=3、11-6=5、18-11=7、…という数を得られます。これらの数を並べると次の通りです。

1、3、5、7、…

これらの数は、初めの数(初項)が1、加える数(公差)が2の等差数列になっています。このように、ある数列の隣り合う数同士の差からできる数列は「階差数列」と呼ばれます

上の例のように、中学受験では多くの場合、階差数列は等差数列になります。等差数列とは、隣り合う数同士の差が同じ数になる数列です

階差数列ともとの数列の関係は?

上の例を使って、階差数列ともとの数列の関係を考えてみましょう。

まず、もとの数列の2番目の数は2+1=3です。もとの数列の1番目の数2に、階差数列の1番目の数1を足しています。次に、もとの数列の3番目の数は2+1+3=6です。もとの数列の1番目の数2に、階差数列の1~2番目の数の和1+3を足しています。

同様に考えると、階差数列ともとの数列の間には、

「もとの数列の初めの数+階差数列の1~(N-1)番目までの数の和=もとの数列のN番目の数」

という関係があることがわかります。これを公式として覚えるよりも、具体的に数字を書き出して、その場でもとの数列のN番目の数を求められるようにするとよいでしょう。

階差数列の問題の解法

階差数列の問題を実際に解いてみましょう。規則性がすぐにわからない数列は、隣り合う数同士の差を取ってみるのがコツです。

階差数列の基本問題

【問題1】下のように、ある規則にしたがって整数を並べていきます。

2、10、24、44、70、102、…

このとき、30番目の整数を求めなさい。

まず、隣り合う数同士の差を取って階差数列を求めます。10-2=8、24-10=14、44-24=20、70-44=26、102-70=32、…なので、階差数列は次の通りです。

8、14、20、26、32、…

この数列は、初めの数が8、加える数が6の等差数列です。

次に、もとの数列の30番目の数を求めるので、階差数列の29番目の数を求めます。

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みみずく

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家庭教師/ライター。墨田区・台東区を拠点に活動している個人家庭教師。家庭教師を本業としつつ、ライターとしても活動しています。モットーは「好きな人を応援する」。小学生の指導科目は国語・算数(数学)・英語・理科・社会・作文など。「楽しく学びながら、中学の準備をする」ことを目標に指導をおこなっています。

Webサイト:みみずく戦略室 墨田区・台東区のプロ家庭教師&ライター
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