平方数と立方数とは？ 相似や数列の問題を解くときに役立つ「特別な整数」を解説

中学受験算数でよく出てくる数に平方数と立方数があります。これらの特別な数字を見分けられるようにして、どこで使えるのかを理解することが大切です。

平方数と立方数とは何か？

塾の算数の授業では「平方数」「立方数」という言葉を聞くこともあるでしょう。それぞれの意味を理解して、しっかり見分けることが大切です。

平方数と立方数

平方数は同じ数を2回かけた（2乗した）数で、立方数は3回かけた（3乗した）数です。たとえば、3の平方数は3×3＝9で、立方数は3×3×3＝27です。また、11の平方数は11×11＝121で、立方数は11×11×11＝1331です。

面積の単位には「平方メートル」があります。この「平方」は「メートルを2回かける」という意味です。そもそも「平方する」が「2回かける」を意味することは覚えておくとよいでしょう。同じように、「立方する」は「3回かける」なので、体積の単位の「立方メートル」は「メートルを3回かける」という意味だとわかります。

平方数と立方数の見分け方

平方数のうち10×10までは九九で見分けられます。一方、九九に含まれない平方数や、九九からは判断しにくい立方数は、素因数分解することで見分けられることがあります。

素因数分解とは、ある整数を素数の積で表すことです。素数は1と自分以外で割り切れない数です。素数には2、3、5、7、11、13、…があります。

216を素因数分解してみましょう。216＝2×2×2×3×3×3なので、2と3をそれぞれ3回かけた数だとわかります。つまり、216は2×3＝6の立方数です。

九九や素因数分解で見つけにくい平方数・立方数は覚えてしまうとよいでしょう。たとえば、13の平方数は169で、立方数は2197です。語呂合わせを考えながら覚えるのもおもしろいかもしれません。

平方数と立方数はどこで使うのか？

平方数と立方数をどこで使うのかを理解しておくことは大切です。

相似

形は同じで大きさが違う図形同士を「相似な図形」といいます。相似な図形では、一方の図形を拡大・縮小したとき、もう一方の図形と重なり合う辺があります。これらの辺が「対応する辺」で、対応する辺の比が「相似比」です。

相似な図形では、相似比がわかっていると、「相似比×相似比＝面積比」「相似比×相似比×相似比＝体積比」が成り立ちます。したがって、面積比では平方数が、体積比では立方数がそれぞれ登場します。

三角形の面積比を求めよう！ 底辺比と相似比を使えば複雑な問題もスッキリ解決

中学受験算数の図形分野では、三角形が最もよく出題されます。中でも、底辺比や相似比を使って面積比を求める問題は定番です...

円錐Aと円錐Bの底面の半径はそれぞれ3cmと5cmです。半径の比がそのまま相似比になるので、相似比はA：B＝3：5です。

(1) 相似な立体図形の面積比は相似比を平方することで求められます。したがって、表面積の比はA：B＝3×3：5×5＝9：25です。

(2) 相似な立体図形の体積比は相似比を立方することで求められます。したがって、体積比はA：B＝3×3×3：5×5×5＝27：125です。Aの体積を□cm\(^3\)とすると、27：125＝□：100より□＝27×100÷125＝\(\frac{108}{5}\)＝21\(\frac{3}{5}\)（cm\(^3\)）が答えです。

数列

数列の問題では、平方数が規則性のヒントになることがあります。