角度の求め方をわかりやすく解説! 平行線や多角形の角の特徴や公式を理解する

2022年11月29日 みみずく

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中学受験算数では、角度を求める問題がよく出ます。平行線と角度の性質に注目したり、多角形の内角や外角の和の公式を利用したりするのが定番です。さまざまな角度の名前や性質を紹介し、それらを使って問題を解く方法を紹介します。

平行線があるときの角度の求め方

平行線と角の関係は小学校の算数で学びます。中学受験生はさらに深く理解しましょう。

対頂角・同位角・錯角とは?

図形問題で同じ大きさの角を探すとき、対頂角・同位角・錯角が役立ちます。それぞれの角の名前と位置は次の通りです。

  • 対頂角…2本の直線が交わるとき、向かい合う角。
  • 同位角…2本の直線に1本の直線が交わるとき、同じ位置にある角。
  • 錯角…2本の直線に1本の直線が交わるとき、ななめ向かいに位置する角。

言葉の説明だとわかりにくいので、下の図で対頂角・同位角・錯角を確認しましょう。

  • 対頂角…角アと角ウ、角イと角エ、角オと角キ、角カと角ク
  • 同位角…角アと角オ、角イと角カ、角ウと角キ、角エと角ク
  • 錯角…角イと角ク、角ウと角オ

対頂角はいつでも等しいので、角ア=角ウ、角イ=角エ、角オ=角キ、角カ=角クが成り立ちます。

一方、右の図のように直線Aと直線Bが平行な場合だけ「同位角が等しい」と「錯角が等しい」が成り立ちます。具体的には、直線Aと直線Bが平行ならば次のことが成り立ちます。

  • 同位角が等しい…角ア=角オ、角イ=角カ、角ウ=角キ、角エ=角ク
  • 錯角が等しい…角イ=角ク、角ウ=角オ

平行線に注目して角度を求める

平行線に注目して角度を求めましょう。

【問題1】下の図で、直線Aと直線Bが平行であるとき、角アと角イの大きさを求めなさい。

角アを求めるには、平行線の同位角か平行線の錯角を利用します。

下の図のように、角ウ+70°=180°なので、角ウ=110°です。平行線の同位角は等しいので角ア=角ウ=110°です。角エ+70°=180°から角エ=110°を求めても、平行線の錯角は等しいので角ア=角エ=110°という同じ答えになります。

角イの大きさを求めるには、この角を通るように直線Aと直線Bに平行な直線Cを引きます。下の図から、対頂角は等しいので角オ=35°、平行線の錯角は等しいので角カ=角オ=35°、角キ=45°とわかります。したがって、角イ=角カ+角キ=35°+45°=80°です。

多角形の内角や外角の大きさの求め方

三角形の内角の和を利用して、多角形の内角や外角の大きさを求める公式を導きましょう。

多角形の内角の和の公式とは?

多角形で、隣り合った2つの辺が作る角のうち、多角形の内側に向いた角を「内角」といいます三角形の内角の和は180°です。このことを利用して、多角形の内角の和を求めます。

下の図のように、多角形を対角線で三角形に分割しましょう。たとえば、「四角形=三角形×2」なので、四角形の内角の和は180°×2=360°です。同じように、「五角形=三角形×3」なので、五角形の内角の和は180°×3=540°になります。

したがって、N角形の内角の和を求める場合、「N角形=三角形×(N-2)」なので、次の公式が成り立つことも理解できるでしょう。

N角形の内角の和=180°×(N-2)

多角形の外角の和の公式とは?

多角形で、1つの辺と、これに隣り合う辺の延長が作る角を「外角」といいます。N角形の外角の和では次のことが成り立ちます。

N角形の外角の和=360°

これを証明するため、下の図のような五角形を考えてみましょう。全ての辺を一方向に伸ばして外角を作ります。まず、内角の和は角ア+角イ+角ウ+角エ+角オ=180°×(5-2)=540°です。次に、角ア+角カ=角イ+角キ=角ウ+角ク=角エ+角ケ=角オ+角コ=180°で、これらの和は180°×5=900°です。したがって、五角形の外角の和は角カ+角キ+角ク+角ケ+角コ=900°-540°=360°を求められました。

同じように考えると、次のことがいえます。

N角形の外角の和
=180°×N-N角形の内角の和
180°×N-180°×(N-2)
180°×2+180°×(N-2)-180°×(N-2)
=180°×2
=360°

多角形の角度を求める

多角形の内角と外角の和に注目して角度を求めましょう。

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この記事の著者

家庭教師/ライター。墨田区・台東区を拠点に活動している個人家庭教師。家庭教師を本業としつつ、ライターとしても活動しています。モットーは「好きな人を応援する」。小学生の指導科目は国語・算数(数学)・英語・理科・社会・作文など。「楽しく学びながら、中学の準備をする」ことを目標に指導をおこなっています。

Webサイト:みみずく戦略室 墨田区・台東区のプロ家庭教師&ライター
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