ニュートン算は難しくない! 水量・行列・牧草の問題には解き方のパターンがある

2023年1月19日 みみずく

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水の量や人数などが増えると同時に減っている状況を問題にしたのが「ニュートン算」です

増えるだけ・減るだけの問題よりも難しそうですが、実はパターンを覚えておけば決して難しくありません。今回はニュートン算の代表的な問題をわかりやすく解説します。

ニュートン算の基本的な考え方

ニュートン算の基本的な考え方を復習するため、水槽の水量が変化するタイプの問題を解いてみましょう。

【問題1】50Lの水が入った水槽があります。この水槽の給水管からは毎分3Lで水が入り、排水管からは毎分5Lで水が出ていきます。給水管と排水管を同時に開いておくと、何分で水槽は空になりますか。

【問題1】では、水槽の水が毎分3Lで増えて、毎分5Lで減っています。したがって、5ー3=2から毎分2Lずつ減ると考えれば、50÷2=25(分)で水槽が空になると考えられます。このように、差を利用して計算で解く方法があります。

計算でイメージが湧きにくい場合は線分図を利用するとよいでしょう。もともと入っていた水も増える水も減る水も、すべて一本の線分図に表します。【問題1】では、「もともと入っていた水の量+増える水の量=減る水の量」となります。□分で水槽が空になったとして、以下の線分図を描きました。

この線分図から、2×□=50であることがわかり、□=50÷2=25(分)を求められます。

ニュートン算の代表的な問題の解き方

ニュートン算の代表的な問題について、線分図を使いながら解いてみましょう。

井戸から水をくみ上げる問題

【問題2】ある井戸には水がたまっていて、一定の割合で水がわき出ています。この井戸を空にするのに、毎分50Lで水をくみ出すと20分かかり、毎分80Lで水をくみ出すと8分かかります。

(1) 井戸は毎分何Lの水がわき出ていますか。

(2) 井戸にたまっていた水は何Lですか。

【問題2】の線分図は以下の通りです。たまっていた水を左端に寄せて、毎分50Lの場合と毎分80Lの場合を2本の直線で表しました。線分の上の○で囲った数字は、毎分1Lで水がわき出るとしたときの増えた水の量です。線分の下には、くみ出して減った水の量を書き込みました。

線分図の差(赤い線分)に注目して、⑫=360なので①=360÷12=30となり、(1)の答えが毎分30Lとわかりました。

(2)の答えは、たまっていた水の量=1000-⑳=1000-30×20=400(L)です。

行列がなくなる問題

【問題3】ある遊園地では、開園時刻に1200人の行列ができていました。4か所のゲートを開くと、行列は48分でなくなりました。9か所のゲートを開くと、行列は何分でなくなりますか。ただし、どのゲートも一度に通れる人数は同じで、開園してからは毎分35人ずつ行列に加わるものとします。

【問題3】では、4か所のゲートを開いた場合を線分図で表しましょう。線分の上には開園時刻の行列の人数と48分で増えた人数を、下にはゲートから遊園地に入る人数を書き込みました。1か所のゲートから1分で遊園地に入る人数を①として、4か所のゲートが開いているので④としました。

線分図を見ながら式を作りましょう。④×48=1200+35×48なので、全体を48で割って④=25+35=60より①=15です。この結果をふまえて、9か所のゲートを開いて□分で行列がなくなった場合を線分図で表すと以下の通りです。

⑨=15×9=135です。135×□-35×□=100×□=1200なので、□=1200÷100=12(分)が答えです。

牛が牧草を食べつくす問題

【問題4】ある牧場で、4頭の牛を放すと30日間で草を食べつくします。また、6頭の牛を放すと15日間で食べつくします。この牧場に14頭の牛を放すと、何日間で草を食べつくしますか。ただし、草は毎日一定量生え、どの牛も1日に一定量の草を食べるとします。

【問題4】のような牛が牧草を食べる問題のポイントは、1頭の牛が1日で食べる牧草の量を1にしてしまうことです。1以外でも答えは出ますが、計算が面倒になるので、1にするのがおすすめです。一方、1日で生える牧草の量を①にして、以下の線分図を描きました。

線分図の差(赤い線分)に注目して、⑮=30なので①=30÷15=2で、もともと生えていた草の量は120-㉚=120-2×30=60です。これをふまえて、14頭の牛を放して□日間で草を食べつくした場合を線分図で表します。

14×□-2×□=12×□=60なので、□=60÷12=5(日間)が答えです。

ニュートン算のパターンに慣れる

ニュートン算はパターンが決まっているので、苦手意識を捨てて類題を解いていくと得意になりやすい分野です。また、視覚的にわかりやすくするため、線分図を描くのがおすすめです。

※記事の内容は執筆時点のものです

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この記事の著者

家庭教師/ライター。墨田区・台東区を拠点に活動している個人家庭教師。家庭教師を本業としつつ、ライターとしても活動しています。モットーは「好きな人を応援する」。小学生の指導科目は国語・算数(数学)・英語・理科・社会・作文など。「楽しく学びながら、中学の準備をする」ことを目標に指導をおこなっています。

Webサイト:みみずく戦略室 墨田区・台東区のプロ家庭教師&ライター
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