和差算を線分図や計算で解く方法を解説！ 公式当てはめをやめて特殊算の土台を学ぶ
中学受験生が最初に学ぶ特殊算の一つが和差算です。公式に当てはめて解いている受験生もいるかもしれませんが、それだと応用問題で手も足も出なくなります。公式に頼らない和差算の解き方を理解しましょう。
2つの数の和差算の解き方
和差算は、いくつかの数の和と差からもとの数を求める特殊算です。典型的な和差算の【問題1】を解いてみましょう。
【問題1】大小2つの数があります。2つの数の和は58、差は4です。大小2つの数をそれぞれ求めなさい。
和差算を線分図で解く
【問題1】では、大小2つの数があるので、下の線分図のように2本の線を描きます。和の58と差の4も書き込んでおきましょう。
下の図のように、小さい数の線に差の4を足してみます。そうすると、大きい数×2＝58＋4＝62とわかるので、大きい数は62÷2＝31です。
一方、下の図のように、大きい数の線から差の4を引いてみます。そうすると、小さい数×2＝58－4＝54とわかるので、小さい数は54÷2＝27です。
線分図を描いてみると、次の関係が成り立っていることも理解できるでしょう。これを「公式」として覚えている受験生も少なくないはずです。
- 大きい数＝（和＋差）÷2
- 小さい数＝（和－差）÷2
和差算を計算で解く
大きい数を□、小さい数を△として和と差の式を作り、消去算の考え方を利用して計算で解くこともできます。実際に和と差の式を作ると次の通りです。
- 和：□＋△＝58
- 差：□－△＝4
消去算では、□か△のどちらかを消すことを考えます。（和＋差）＝（□＋△）＋（□－△）＝58＋4です。＋△と－△に注目して△－△＝0なので、□×2＝62となります。したがって、□＝62÷2＝31より、大きい数は31です。
□＝31を和の式に代入して（置きかえて）、31＋△＝58となります。△＝58－31＝27より、小さい数は27です。
3つ以上の数の和差算の解き方
公式が使えない3つ以上の数の和差算も線分図や計算で解いてみましょう。
3つの数の和差算の解き方
【問題2】太郎君、次郎君、三郎君の3人がはじめに持っていたお金の合計は10000円でした。太郎君は1500円の本を買い、次郎君は1000円の本をそれぞれ買ったところ、太郎君の持っているお金は次郎君の持っているお金より1200円少なくなり、三郎君の持っているお金と同じ額になりました。太郎君がはじめに持っていたお金はいくらですか。
【問題2】はお金の問題ですが、和差算の考え方で解けます。長い問題文を正確な線分図で表しましょう。
まずは、太郎君と次郎君が本を買った後、太郎君が持っているお金は、次郎君が持っているお金より1200円少ないので、太郎君の線より次郎君の線を長く描きます。また、太郎君が持っているお金は、三郎君の持っているお金と同じ額になるので、三郎君の線は太郎君の線と同じ長さにします。
次に、太郎君の線に、本を買うのに使った1500円を描き加えます。同じく、次郎君の線に、本を買うのに使った1000円を描き加えます。
ここまで描いた上で、はじめに持っていたお金が一番少ない三郎君について、（三郎君の持っていたお金）×3＝10000－（1500＋1200＋1000）＝6300となり、三郎君の持っていたお金は6300÷3より2100円とわかります。したがって、太郎がはじめに持っていたお金は2100＋1500＝3600（円）です。
4つの数の和差算の解き方
【問題3】花子さんは国語、算数、理科、社会のテストを受けました。国語と算数の平均点は91点で、4科目の平均点は90点でした。算数が理科より3点高く、社会より5点低いとき、国語は何点ですか。
【問題3】には平均が出ていますが、平均から合計点を求められるので、和差算の問題として考えることができます。線分図を描くのが大変そうなので、計算で解いてみましょう。
国語を□点、算数を△点、理科を■点、社会を▲点として、次の4つの式を作ります。国語と算数の平均点が91点なので、国語と算数の合計点は91×2＝182（点）です。また、4科目の平均点が90点なので、4科目の合計点は90×4＝360（点）で、理科と社会の合計点は360－182＝178（点）です。
- 国語と算数の合計点：□＋△＝182 … ①
- 理科と社会の合計点：■＋▲＝178 … ②
- 算数と理科の点数差：△－■＝3 … ③
- 算数と社会の点数差：▲－△＝5 … ④
まずは、①～④の式を見て、「□、△、■、▲のどれかを消せないか？」を考えます。③＋④＝（△－■）＋（▲－△）＝3＋5で、△－△＝0なので、▲－■＝8 … ⑤となります。
次に、②＋⑤＝（■＋▲）＋（▲－■）＝178＋8で、■－■＝0なので、▲×2＝186となります。したがって、▲＝186÷2＝93（点）です。
最後に、▲＝93を②に代入して■＋93＝178より■＝178－93＝85、■＝85を③に代入して△－85＝3より△＝3＋85＝88を求められました。したがって、国語の点数は、△＝88を①に代入して□＋88＝182より□＝182－88＝94（点）です。
和差算は特殊算の土台になる
線分図や計算を使った解き方は他の特殊算でも使えます。そのため、和差算でさまざまな解き方を試してみると、その経験が特殊算を考える上での土台になります。和差算を公式当てはめにしないことが大切です。
※記事の内容は執筆時点のものです
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