扇形の中心角の求め方がわからない！ 比例を理解できれば公式無しでも大丈夫

中学受験算数の平面図形分野では、扇形に関する問題がよく出題されます。扇形の弧の長さや面積を求める公式は有名です。

一方、中心角の大きさを求める問題になると、頭を抱えてしまう受験生が少なくありません。そんな受験生のために、今回は扇形の中心角の求め方について解説します。

弧の長さや面積から中心角を求めよう

扇形の中心角の求め方を解説する前に、扇形がどのような図形であるか確認しましょう。

上図の通り、扇形は円の一部を切り取った図形です。そのため、等しい長さの2本の線を「半径」、この2本の間にある角を「中心角」といいます。また、「弧」は円周の一部であることもわかるでしょう。

扇形が円の一部であることを理解していれば、これから紹介するいくつかの公式も自分で導くことができるようになります。

弧の長さの公式から中心角を求める方法

扇形の弧は円周の一部です。そのため、弧の長さを求めるには、円周の長さを求める公式に「円全体に対する扇形の割合」をかければよいことになります。具体的には、次の公式で弧の長さを求められます。

「\(\frac{中心角}{360°}\)」は、円の中心角360°を全体としたとき、扇形の中心角がどのくらいを占めるかを表す割合です。

弧の長さを求める公式から逆算すると、中心角の大きさを求められます。これを式で表すと次の通りです。

「直径＝半径×2」なので、分母を「半径」に書きかえると、分子の360°が2で約分されて180°になります。

面積の公式から中心角を求める方法

扇形の面積を求める公式も、弧の長さを求める公式と同じように考えられます。

この式を変形すると、中心角を求める式は次の通りです。