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倍数と約数の教え方(5)倍数、公倍数の実践問題|ママのための受験算数の教え方プチ講座

2018年4月04日 小林美代子

倍数と約数の教え方(1)(2)において、倍数と公倍数についての基本的な考え方を紹介しました。今回はそれらをベースとした実践問題にチャレンジしてもらい、どのように基本事項が使われ、さらにどんな力が要求されるのかを知ってもらいたいと思います。

倍数、公倍数の実践問題

さっそく次の実践問題をお子さんに解いてもらいましょう。

■問題(難)

3を引くと4の倍数になり、2をたすと7の倍数となるような整数について、次の問に答よ。

(1)このような整数のうち、2けたの数をすべて求めよ。
(2)このような整数のうち、3けたの数は何個あるか。

どうでしょうか、お子さんは無事答えを出すことができましたか?

まずは問題文「2をたすと7の倍数になり、3を引くと4の倍数となるような整数」の通りに式をつくってみます。

求める整数を☐とすると、

☐-3=4×○、 ☐+2=7×△  (○、△:整数)

この式をそれぞれ変形すると、

☐=4×○+3、 ☐=7×△-2

となり、ここまでは大丈夫だと思います。

この先この2式を同時に満たす整数□を見つけ出すのには、少し実践力が必要になると思いますが、間違いなく「倍数と約数の教え方(1)(2)」の内容で解ける問題です。


では、倍数、公倍数の基本事項をお子さんに再確認させながら、実践力を養うために、次の2つの問題(問題1、問題2)を解きながら、力つけていきましょう。まずは問題1からです。

■問題1(基礎)

4の倍数でも7の倍数でもある2けたの整数をすべて求めよ。

解説

この問題は4の倍数(4×○の形)であり、7の倍数(7×△の形)でもある整数である、つまり7と4の公倍数の問題です。

7と4の公倍数とは、最小公倍数28の倍数(28×□の形)です。

そのうち2けたの整数は

28×1=28、 28×2=56、 28×3=84より

答えは28、56、84である。

ここで倍数と公倍数についての仕組みを考えてみましょう。仕組みを考えるために、それぞれの倍数を書き並べて、見比べてみます。

4の倍数は4ずつ増え、7の倍数は7ずつ増えので、「4の倍数でも7の倍数でもある数」は4と7の最小公倍数28ずつ増える。つまり28の倍数であることが目で確認できます。

次に問題2です。

■問題2(標準)

50から100までの整数のうち、2をたすと7の倍数となる整数の個数を求めよ。

(ここまででつまずいてしまう場合は「倍数と約数の教え方(1)」の倍数の個数を求める問題の解き方を確認しましょう)

解説

まず、求める整数(2をたすと7の倍数となる整数)を☐とします。

☐+2=7×△  (△は整数)
     ☐=7×△-2

そして、ここからが実践力を要します。何をするのかというと、具体的に書き出すのです。(簡単でしょ!)この具体的に書き出してみる方法は、意外と受験算数に強くなる方法なのです。

さっそく、

54、61、68、…、96

また、これを「7×△-2の形」で表すことによって、仕組みが理解できます。

また、△は順番を表していることがわかります。そして求める数は8番目から14番目の数である。

さらに「7×△-2」を1番目から書き出してみると、さらに理解しやすくなります。

1番目から7番目までがいらないので、

答えは14-7=7(個)である。


では、再度本題を解いてみましょう。

■問題(難)

3を引くと4の倍数になり、2をたすと7の倍数となるような整数について、次の問に答よ。

(1)このような整数のうち、2けたの数をすべて求めよ。
(2)このような整数のうち、3けたの数は何個あるか。

解説

求める整数を☐とすると、2つの条件は、

☐-3=4×○、 ☐+2=7×△ (○、△:整数)

と表せます。この2式をそれぞれ変形すると、

☐=4×○+3、 ☐=7×△-2

これらを具体的に書き出し、書き並べ、見比べると、

よって、求める整数□は次々に28を加えたものであることがわかります。

つまり、求める整数は

□=28×△+19 (△は整数)

と表すことができます。

■問(1)

2けたの整数を具体的に書き出すと、

19、 19+28=47、 47+28=75 よって、

答えは19、47、75である。

■問(2)

3けたの整数は

103、131、…999

であり、これを「28×△+19の形」で表すと、

である。

これは、2番目までがいらないと考えられるので、

3けたの整数の個数は

35-2=33個

答えは33個である。

まとめ ――具体的に書き出す、書き並べる、見比べる

算数(数学)の実践力を養うには、基本事項をしっかりと身に付けたうえでまずは、

  • 具体的に書き出す
  • 書き並べる
  • 見比べる

をやるといいです。簡単なことなのですが、意外とこの3つのことを試さずに「格好の良い式」ばかり探す子は多いです。

  • 具体的に書き出して、その数の仕組みに慣れる
  • きれいに書き並べて、その規則性(構造)を考える
  • 見比べて、その構造を深く理解する

ことが大切です。

最後に理解した構造を、式で表現していくことは、力のいる作業だと思います。

今回の場合、「求める整数□は次々に28を加えたものであることがわかる。求める整数は□=28×△+19(△は整数)と表すことができる」という部分が、最後の式での表現にあたります。

でも、基本的な行動は「具体的に書き出す、書き並べる、見比べる」ととても簡単なものなので、お子さんが問題に悩んでいる場合は、「具体的に書いてみたら?」「きれいに並べて書いてみたらどう?」「書き並べたものを見比べて見てごらん」と声をかけてあげるだけでも、実践力を養えると思います。そして、この「具体的に書き出す、書き並べる、見比べる」は整数を求める問題にとても有効です。


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※記事の内容は執筆時点のものです

この記事の著者

大学・大学院の理学部数学科を卒業後、17年間高校にて数学教諭として1,000人を超える生徒に指導をしてきました。そのなかで出会ってきた、高校で急に落ちこぼれてしまう生徒の解答の書き方や、伸び上がる生徒の勉強方法、また多くの生徒がつまずく箇所を含めて、算数(数学)の教え方のコツをお子さまとともに奮闘していらっしゃるお母さま方にお伝えします。都内において『算数の教え方教えますMother's math講座』を開講中です。

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